1.NUMEROS REALES

1. NUMEROS REALES.

Los números reales (

$\mathbb{R}$

) son el conjunto que incluye a todos los números racionales e irracionales, es decir, todos los números que pueden ubicarse en una recta numérica. Este conjunto abarca números enteros, fracciones, decimales (tanto finitos como infinitos), así como números como 

$\pi$

 y las raíces cuadradas de números no perfectos .  

Pues los numeros naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar son las mas elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades, de tal manera vemos que comienzan con el uno (en algunos casos inician con el cero) y siguen hasta el infinito 

1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Y SUS PROPIEDADES

Aun que la teoria de los conjuntos es completamente general, en la matematica basica podemos encontar conjuntos sumante importantescomo los formados por los numeros, en particular tenemios la siguiente clasificacion, comenzando con el conjunto de numeros complejos y terminando con el conjunto de numeros naturales.

Los numeros reales principalmente se clasifican en racionales (puedes expresarse como una fraccion, incluyendo a los naturales y enteros) e irracionales (que no pueden expresarse como una fraccion y tienen decimales no periodicos). A su vez, los numeros irracionales se subdividen en algebraicos y trascendientes.

• Numeros racionales (Q)
• Numeros naturales (N)
• Numeros enteros (Z)
• Numeros irracionales (I)
  

1.1.2 NUMEROS RACIONALES (Q)

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción, es decir, como una división entre dos números enteros. La palabra “racional” viene del latín “ratio”, que significa razón o proporción.

Los números racionales incluyen a los enteros, ya que cualquier número entero puede expresarse como una fracción con denominador 1. También incluyen a los decimales finitos, como 0.25 o -3.75, ya que estos pueden expresarse como fracciones con denominadores de potencias de 10 (por ejemplo, 0.25 = 25/100 y -3.75 = -375/100).

Los números racionales se representan mediante el símbolo Q, que proviene del término “quoziente”, que significa cociente. En términos matemáticos, se define como el conjunto de todos los números que se pueden expresar como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b no es igual a cero.

Una propiedad importante de los números racionales es que son cerrados bajo la suma, la resta, la multiplicación y la división, siempre y cuando el denominador no sea igual a cero. Es decir, si a/b y c/d son dos números racionales, entonces:

• • La suma de a/b y c/d es (ad + bc) / bd.
  • La resta de a/b y c/d es (ad – bc) / bd.
  • La multiplicación de a/b y c/d es ac/bd.
  • La división de a/b y c/d es (a/b) / (c/d) = ad/bc (si c/d no es igual a cero).

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como fracciones y que forman un conjunto cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Son representados por el símbolo Q y son importantes en muchas ramas de las matemáticas y en la vida cotidiana.

1.1.3 NUMEROS NATURALES (N)

Son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto;

 por ejemplo los integrantes te este conjunto son:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

a este conjunto de los números naturales lo identificamos con la letra N

 Este conjunto de números se divide en conjuntos más pequeños, como los siguientes;

1. conjunto de numeros perfectos: son los numeros naturales que son iguales a la suma de ssus divisores propios positivos, sin incluirse en el mismo; ejemplos:

1. Conjunto de números triángulares; que son de la forma 
2. n2+n2n2+n2n2+n2, donde n es un número natural. Ejemplos de estos números son:
   1,3,6,10,15,21,28…
   y se les da el nombre de triángulares por que si cada número representa la cantidad de objetos respectiva, éstos los podemos acomodar en la forma:
   

   1.1.3 Enteros (E)

   Los números enteros son aquellos que representan una cantidad entera y se pueden expresar sin fracciones ni decimales. En otras palabras, son los números que se utilizan para contar objetos o elementos completos, como personas, animales, entre otros. Los números enteros pueden ser negativos, positivos o cero, y se representan con el símbolo “Z” que significa “números enteros”.

   En matemáticas, los números enteros se utilizan para representar situaciones cotidianas, como las temperaturas o la cantidad de dinero que se tiene. Es importante mencionar que los números enteros son una subclase de los números reales, que a su vez incluyen a todos los demás tipos de números, como los racionales e irracionales.

   Una de las principales propiedades de los números enteros es que son cerrados bajo la adición y la multiplicación, lo que significa que al sumar o multiplicar dos números enteros, el resultado también es un número entero. Esta propiedad es fundamental para muchas aplicaciones matemáticas, como en la teoría de números o en el álgebra.

   Es importante mencionar que los números enteros negativos también pueden representar cantidades en situaciones cotidianas, como una deuda financiera o una temperatura bajo cero. Por lo tanto, es necesario considerar tanto los números enteros positivos como negativos para representar adecuadamente diferentes situaciones.

   Los números enteros son aquellos que representan cantidades enteras y se pueden expresar sin fracciones ni decimales. Se representan con el símbolo “Z” y son una subclase de los números reales. Son cerrados bajo la adición y la multiplicación, lo que los hace fundamentales en muchas aplicaciones matemáticas. Recuerda que tanto los números enteros positivos como negativos son importantes para representar diferentes situaciones cotidianas

1.1.4 Irracionales (I)

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción exacta o razón de dos números enteros. En otras palabras, un número irracional es cualquier número real que no sea racional. La presencia de números irracionales fue un gran descubrimiento en la historia de las matemáticas.

Algunos ejemplos de números irracionales incluyen la raíz cuadrada de 2, pi, y la constante de Euler, e. Estos números tienen un número infinito de decimales no periódicos y no pueden ser expresados como una fracción exacta.

Es interesante notar que la mayoría de los números reales son irracionales. De hecho, la proporción de números racionales a números irracionales es de 0 a 1. En términos matemáticos, la colección de números irracionales tiene la misma cardinalidad que los números reales, lo que significa que hay tantos números irracionales como hay números reales.

A pesar de su nombre, los números irracionales tienen una gran cantidad de aplicaciones prácticas en las matemáticas y en la vida cotidiana. Por ejemplo, la razón por la cual una espiral se forma en una concha de caracol es debido a la presencia de números irracionales.

Los números irracionales son una parte importante de los números reales y de las matemáticas en general. Son aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción exacta y tienen un número infinito de decimales no periódicos. Con su presencia, los números irracionales abren la puerta a un mundo de posibilidades matemáticas y aplicaciones prácticas. ¡No subestimes el poder de los números irracionales