3. LIMITES Y CONTINUIDAD

 3. LIMITES Y CONTINUIDAD 

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo, este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

3.1.1 Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al valor del límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

Una forma simple de ejemplificar el concepto de límite consiste en encontrar el área de un círculo, inscribiendo polígonos regulares dentro de este, como se muestra a continuación:

si denotamos como An el área del polígono inscrito de n lados. Al aumentar el valor de n, An se aproxima al área del círculo. Por lo que el área del círculo se puede definir como:

Acírculo=limn→∞An

Formalmente tenemos la siguiente definición para límites.

Definición 3.1

Una sucesión {xn} tiene límite L , si cuando n tiende a ∞, la sucesión {xn} se aproxima a L. su expresión matemática es la siguiente:

limn→∞xn=Lo simplemente escribimosxn→L

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.

La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

El límite de una función en un valor 

x1 existe, si y solo si, cuando al aproximarse x ax1 por la izquierda y por la derecha, la función f(x) se aproxima al mismo valor, esto es

limx→x−1f(x)=limx→x+1f(x)=limx→x1f(x),

donde los superíndices "-" y "+" indican "por la izquierda" y "por la derecha", respectivamente.

Este tipo de límites se conocen como límites laterales y, a diferencia de los límites de sucesiones, aquí es muy importante verificar que se cumpla la igualdad de dichos límites laterales, pues en caso contrario el límite de la función no existe.

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